4． 補(bǔ)碼的計(jì)算

我們先看一下這個(gè)問(wèn)題：假設(shè)現(xiàn)在時(shí)間是 1 點(diǎn)整，但是你的手表進(jìn)水了，它顯示的是 3 點(diǎn)整，現(xiàn)在你怎么把時(shí)間調(diào)整到 1 點(diǎn)的位置？

方法1：把時(shí)針逆時(shí)針撥動(dòng) 2 個(gè)小時(shí)（3 － 2 ＝ 1）；

方法2：把時(shí)針順時(shí)針撥動(dòng) 9 個(gè)小時(shí)到 12 點(diǎn)，然后再撥動(dòng) 1 個(gè)小時(shí)（3 ＋ 10 ＝ 1）；

對(duì)于時(shí)鐘表盤來(lái)說(shuō)，每 12 個(gè)小時(shí)為一圈，可以認(rèn)為：－2 ＝＝ 10，－1 ＝ 11， －3 ＝ 9，同樣的：－2 ＝＝ 10， －2 ＝＝ 22， －2 ＝＝ 34，．．．

可以看到規(guī)律是：－2、10、22、34 這些數(shù)字對(duì) 12 取模都得到同一個(gè)數(shù)（取正數(shù)），在數(shù)學(xué)上，兩個(gè)整數(shù)除以“同一個(gè)整數(shù)”，若得相同余數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)同余。

表盤中的 12 就是這個(gè)“同一個(gè)整數(shù)”，可以看到這是一個(gè)可“溢出”的系統(tǒng)，－2、10、22、34 這幾個(gè)數(shù)在表盤上表示的是一樣的數(shù)，所以說(shuō)這幾個(gè)整數(shù)同余。

也就是說(shuō)：在計(jì)算的時(shí)候，可以用 10、22、34 這幾個(gè)數(shù)字來(lái)替換 －2，替換之后的計(jì)算結(jié)果是相同的。

那么對(duì)于一個(gè) 8 位 的二進(jìn)制數(shù)來(lái)說(shuō)，最多只有 8 位，在計(jì)算過(guò)程中，如果最高位產(chǎn)生了進(jìn)位，就會(huì)被丟棄，所以它也是一個(gè)可“溢出”的系統(tǒng)。那么這里的“同一個(gè)整數(shù)”是多少呢？

從前面的內(nèi)容中可以看到，使用補(bǔ)碼表示的 8 位二進(jìn)制數(shù)表示的范圍是 －128 ～ 127，一共是 256 個(gè)數(shù)，所以如果對(duì) 256 取模，得到相同的余數(shù)，那么這些數(shù)就是同余數(shù)。

例如：－2 和 254 對(duì) 256 取模，得到相同的余數(shù)，因此它倆就是同余數(shù)，那么在計(jì)算的時(shí)候，就可以用 254 來(lái)代替 －2。

那么我們通過(guò)計(jì)算 3 ＋ （－2） 來(lái)驗(yàn)證一下。

（1） 利用同余數(shù)來(lái)計(jì)算

3 ＋ （－2） ＝＝ 3 ＋ 254 ＝ 257

257 超過(guò)了最大的表示范圍，所以溢出，結(jié)果就是 257 對(duì) 256 取模，結(jié)果為 1。

（2） 直接用補(bǔ)碼來(lái)計(jì)算

3 的補(bǔ)碼是 0000＿0011，－2 的補(bǔ)碼是 1111＿1110，在計(jì)算的時(shí)候，把符號(hào)位也參與運(yùn)算：

結(jié)果也是 1，也就是說(shuō)：

在二進(jìn)制計(jì)算中，使用補(bǔ)碼來(lái)計(jì)算，“天然”就滿足了“同余定理”。

細(xì)心的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了：－2 的二進(jìn)制補(bǔ)碼表示，與 254 的二進(jìn)制自然表示，它們的形式是一樣的！

這種“天然”性，是巧合？還是計(jì)算機(jī)前輩的設(shè)計(jì)結(jié)果？！

五、總結(jié)

這篇文章，我們探討了計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的軟件基石：二進(jìn)制系統(tǒng)，主要的目的是幫助你理解二進(jìn)制的表示、計(jì)算方式。

希望你看完之后能夠豁然開(kāi)朗！如果對(duì)您的理解有幫助的話，請(qǐng)轉(zhuǎn)發(fā)給身邊的技術(shù)小伙伴，共同成長(zhǎng)！

謝謝！